Геометрия : задал haileymaree

28.04.2023

Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку н пересечения высот с вершинами треугольника, лежат на одной окружности, причем центр р круга с серединой он, где о - центр окружности, описанной вокруг заданного треугольника авс.

Пошаговый ответ

01.10.2020, проверен экспертом

Аникеенко Наталия Владимировна

s Студент

Учитель английского языка МБОУ "Школа №60 города Донецка"

Пусть A1,B1 и C1- середины сторон BC,CA и AB;
A2,B2 и C2- основания высот;
A3,B3 и C3- середины отрезков, соединяющих точку пересечения высот с вершинами.
Так как A2C1 = C1A = A1B1 и A1A2||B1C1, точка A2 лежит на описанной окружности треугольника A1B1C1.
Аналогично точки B2 и C2 лежат на описанной окружности треугольника A1B1C1.
Рассмотрим теперь окружность S с диаметром A1A3. Так как A1B3||CC2 и A3B3||AB, то <A1B3A3 = 90°, а значит, точка B3 лежит на окружности S.
Аналогично доказывается, что точки C1,B1 и C3 лежат на окружности S. Окружность S проходит через вершины треугольника A1B1C1, поэтому она является его описанной окружностью.
При гомотетии с центром H и коэффициентом 1/2 описанная окружность треугольника ABC переходит в описанную окружность треугольника A3B3C3, т. е. в окружность девяти точек. Значит, при этой гомотетии точка O переходит в центр окружности девяти точек.

Доказать, что середины сторон треугольника, основания высот и середины отрезков, соединяющих точку н - вопрос №2808240 от 28.04.2023 18:15

Ответ тебе помог?

Полезный ответ Бесполезный ответ

Сафонова Елена Валерьевна

s Студент

Люблю литературу и путешествия по России. Как жаль, что на первое не хватает времени, а на второе — денег...

Пусть А₁, В₁,С₁ — средины сторон ВС, АС и АВ; A₂, B₂, C₂ — основы высот; A₃, B₃, C₃ — средины отрезков AH,BH,CH.

Поскольку ∠AA₂B =90°, то АС₁ = С₁А₂, как радиусы круга, описанной вокруг АВА₂.
Следовательно С₁А₂ = А₁В₁.

Кроме того, А₁А₂ || В₁С₁. Поэтому С₁А₂А₁В₁ - равносторонняя трапеция и точка А₂ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника A₁B₁C₁.Рассмотрим теперь круг с диаметром А₁А₃. Поскольку А₁В₃ || СС₂, A₃B₃ || AB, то ∠A₃B₃A₁=90°,
следовательно точка В₃ лежит на окружности. Поэтому точка А₁ лежит на окружности, описанном вокруг треугольника А₃В₃С₃. Аналогично доводим что точки B₁ и С₁, C₃,B₂,C₂лежат на окружности. Следовательно, все 9 отмеченых точек находятся на данном круге.

Поскольку при гомотетии с центром Н и коэффициентом 1/2 треугольник АВС переходит в треугольник А₃В₃С₃, то и центр О круга, описанной вокруг треугольника АВС, перейдёт в центр Р круга, описанной вокруг треугольника А₃В₃С₃. Поэтому Р - средина отрезка ОН.

Что и требовалось доказать.

Ответ тебе помог?

Полезный ответ Бесполезный ответ

Другие вопросы по предмету

Геометрия

Найти координаты вектора ab, если a(-2; 6-2),b(3; -1; 0)

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент

Вычтем из координат конца вектора (B), соответствующие координаты начала вектора (A), получим координаты вектора.

$\displaystyle \vec{AB} =\begin{pmatrix}3-(-2);-1-6;0-(-2)\end{pmatrix} =\\ =(5;-7;2)$

$\displaystyle \boxed{\vec{AB} (5;-7;2)}$

Геометрия

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а проекция другого катета на гипотенузу 16. найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент

Пусть проекция первого катета на гипотенузу равна х, тогда гипотенуза равна х+16.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на его проекцию на гипотенузы.

х(х+16)=15^2

x^2+16x-225=0

D=256+900=1156

x1=(-16-34)/2<0 - не подходит, длина отрезка не может быть отрицательным числом

х2=(-16+34)/2=9

Гипотенуза равна 9+16=25

Второй катет равен корень(25*16)=5*4=20

Радиус окружности, вписанной в прямоугольной треугольник равен

к=(a+b-c)/2.

a=15,b=20, c=25

r=(15+20-25)/2=5

ответ: 5

Геометрия

Найдите градусную меру дуги,опирающейся на хорду, если хорда и радиус, проведенный в конец хорды, образуют угол 40%.

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент

Рисунок: в окружности хорда АВ и центр окр-ти О образуют равнобедренный тр-к АОВ (т.к. АО=ВО=R). По условию угол АВО равен 40 градусов, значит в равнобедренном тр-ке угол ВАО тоже равен 40 градусов. Искомый угол АОВ равен 180-(40+40)=100 градусов (т.к. сумма внутренних углов тр-ка равна 180 градусов)

Геометрия

Площадь боковой поверхности цилиндра 15 (пи).найдите площадь осевого сечения

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент

осевое сечение- прямоугольник с сторонами 2r и h

(что неясно-пиши в личку)

Площадь боковой поверхности цилиндра 15 (пи).найдите площадь осевого сечения

Геометрия

Диагонали трапеции авсд (вс и ад-основания) пересекаются в точке о, ад=12см, вс=4см. найдите площадь треугольника вос,если площадь аод=45см^2

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент

ΔАОD~ΔВОС

Aaod/Aboc=AD²/ВС²=sqrt(81)=9

45/Aboc=144/16

Aboc=45*16/144=5 cm²

Геометрия

50 в треугольнике мрк, угол м равен 45 градусов, а высота рн делит сторону мк на отрезки мн и нк соответственно равные 5 см и 8 см. найдите площадь треугольника мрк.

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент

S=a*h/2

Mk=m=5+8=13

Рассмотрим треугольник МНР прямоугольный

Треугольник МНР равнобедренный угол М=45 градусов угол Р=45 градусов от этого следует МН=РН равны 3 см

S=a*h/2=13*3/2=19.5

Геометрия

Відповідні сторони двох подібних трикутників дорівнюють 30см і 24см.площа трикутника зі стороною 30см дорівнює 45см(квадратних).знайдідь площу другого трикутника.

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент

30 відноситься до 45 як 24 до Х

30Х=24*45

Х=36

площа другого трикутника 36 см квадратних.

Геометрия

Радиус окружности,описанной около треугольника с углом в 150*,равен 1.найдите длину наибольшей стороны треугольника.

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент

вписанный угол (он же наибольший в треугольнике) равен 150
соответствующий центральный угол равен 150*2 = 300
искомая сторона треугольника, равна длине хорды, опирающейся на центральный угол 300 градусов (либо на 360 - 300 = 60 градусов)
известно, что треугольник с двумя одинаковыми сторонами и углом между ними 60 градусов является равносторонним
таким образом искомая длина хорды равна радиусу и равна 1 - это ответ

Геометрия

Втреугольнике abc угол c равен 90 угол а равен 60 вс=корень из 3. найдите ас

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент

отношения противолежащего катета к прилежащему : tg(60)=bc/ba

ba=bc/tg(60)

tg(60)=корнь из 3

ba=1

Геометрия

Угол между двумя радиусами в 4 раза больше, чем угол между хордой, стягивающей концы этих радиусов, и одним из радиусов.найдите длину меньшей из дуг, стягиваемых данной хордой,если площадь сектора,ограниченногоменьшей дугой,равна 48π см^2

Пошаговый ответ

P Ответ дал Студент