Докажите, что если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то высота равна средней линии.

равнобедреною трапецию можно вписать в окружность если сумма боковых сторон будет ровна сумме основ.

представим что ABCD равнобедренная трапеция тоесть AB и CD боковые стороны, а BC и  AD основы, то AD+BC=AB+CD

А)в четырехугольник можно вписать окружность когда сумма длин противоположных сторон равна
то есть (ВС/2)+(AN/2)=MN+AB
также (ВС/2)+(AN/2)=MN+СD
AB=CD =>трапеция равнобокая

б)BE=1=BS
BO^2=BE^2+EO^2=10
BO=sqrt{10}
BO-биссектриса АВМ
АО-биссектриса ВАN
АВМ+ВАN=180
=>OBA+BAO=90
=>BOA=90
из подобия треугольников BOS и BAO
BS/BO=SO/AO
AO=3sqrt{10}
Из подобия треугольников AOQ и APT
OQ/PT=OA/AP
Пусть r- радиус искомой окружности
r=PT
3/r=(3sqrt{10})/(3sqrt{10}-3-r)
r=3(sqrt{10}-1)/(sqrt{10}+1)=(11-2sqrt{10})/3

РЕШЕНИЕ:

А) • Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота данной трапеции равна полусумме оснований =>
СN = ( BC + AD ) / 2 = ( 7 + 23 ) / 2 = 30/2 = 15
• ND = ( 23 - 7 ) / 2 = 16 / 2 = 8
AN = AD - ND = 23 - 8 = 15
• Рассмотрим тр. СND (угол CND = 90°):
По теореме Пифагора:
CD^2 = CN^2 + ND^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289
CD = AB = 17
• Рассмотрим тр. АСD:
S acd = ( 1/2 ) • CN • AD
S acd = ( 1/2 ) • AM • CD =>
CN • AD = AM • CD
AM = CN • AD / CD = 15 • 23 / 17 = 345 / 17
• Рассмотрим тр. АСN:
По теореме Пифагора:
АС^2 = СN^2 + AN^2 = 15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450
AC = 15V2 ( V - знак квадратного корня )
• Рассмотрим тр. АСМ:
По теореме Пифагора:
АС^2 = АМ^2 - СМ^2 = ( 15V2 )^2 - ( 345/17 )^2 = 450 - ( 345/ 17 )^2 = 11 025/289
AC = 105/17
• тр. СND подобен тр. СРМ
угол NDC = угол СРМ
sin NDC = CN/CD
sin CPM = CM/CP =>
CN/CD = CM/CP =>
CP = CD • CM / CN = 17 • 105 / 17 • 15 = 105/15 = 7
NP = CN - CP = 15 - 7 = 8
• Рассмотрим тр. АРN:
По теореме Пифагора:
АР^2 = АN^2 + NP^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289
AP = 17
• Если в четырёхугольнике сумма противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность:
АВ + СР = ВС + АР
17 + 7 = 7 + 17
24 = 24
Значит, в четырёхугольник АВСР можно вписать окружность, что и требовалось доказать.

Б) • Рассмотрим тр. ВСР:
По теореме Пифагора:
ВР^2 = ВС^2 + СР^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 49 • 2
ВР = 7V2
• Рассмотрим четырёхугольник АВСР:
Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то её площадь равна половине произведения его диагоналей =>
S abcp = АС • ВР / 2 = 15V2 • 7V2 / 2 = 15 • 7 = 105
• Площадь любого n - угольника рассчитывается по формуле:
S = p • r
где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности



ОТВЕТ: б) 35/8

АВС равнобедренный прямоугольный треугольник, В=90, ОРМН -квадрат, НМ лежит на АС, О на АВ, Р на ВС. ОН=АН (треуг АОН равнобедренный прямоугольный Н-90), ОН=АН=НМ=МС=12/3=4. Периметр=4*4=16 см

L=2п*R

8п=2п*R 

R= 4 cм

l^2=4^2+3^2=16+9=25

l=5 см

l- образующая

R-радиус

L-длина основания конуса 

Решение с рисунком приведено во вложении.

Диагональ квадрата (основания) = √(25+25)=5√2

Радиус описанной окружности вокруг квадрата равен половине диагонали, то есть 2,5√2

Площадь окружности = pi*R^2=6,25*PI

Объем цилиндра = 6,25*pi*(4/pi)=25

минимальная призма 

грани 3  боковых и 2 основания      (3бок+3осн+3осн)=9 ребер 3*2=6 вершин

грани 4  боковых и 2 основания     (4+4+4)=12 ребер                4*2=8 вершин

грани 5  боковых и 2 основания     (5+5+5)=15 ребер                5*2=10 вершин

аналогично  72/3=24 (24+24+24)=72 ребер

грани 24 боковых и 2 основания =26   граней                        24*2=48 вершин

ответ: 26   граней     48 вершин  

Если Е - середина АВ, то угол МЕС - прямой, МЕ = СЕ, поэтому СМ = МЕ*sqrt(2) (то есть на корень из 2);

В тр-ке МСА АМ=АС;

и кроме того, АМ = АВ, МЕ = АМ*sqrt(3)/2;

CM = AM*sqrt(6)/2

Имеем равнобедренный треугольник с боковыми сторонами длинны 1 (без потери общности, просто принимаем длинну стороны за единицу измерения), и основанием, равным sqrt(6)/2;

Синус половины искомого угла равен sqrt(6)/4, ну откуда

ответ - arcsin(sqrt(15)/4)