Нужна! через точку a окружности с центром o проведены диаметр ab и хорда ac. докажите, что угол bac вдвое меньше угла boc.

Конусом называется тело вращения, образованное поворотом прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Катет, вокруг которого поворачивается прямоугольник, есть высота. Она равна 4 метра. Радиус основания - второй катет, равный 3 метра.  Образующая будет гипотенузой этого прямоугольного треугольника, она равна 5, по теореме Пифагора.

Площадь сечения... Какое сечение именно имеется в виду? Осевое или что? 

вот здесь есть решение.

Множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от A и C - прямая BD (серединный перпендикуляр к отрезку AC). Тогда проекция точки M на плоскость квадрата принадлежит прямой AC. Пусть N - проекция M на (ABC), тогда MN перпендикулярна AC. Также AC перпендикулярна BD, т.е. AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости (BMD), этого достаточно, чтобы утверждать, что AC перпендикулярно (BMD).

кенгуру 8 клааасс...

это 4 

Найдем радиус основания конуса

Пr^2=3П

r=sqrt(3)

R=4sqrt(3)

V=1/3*6*16*3*П=96П

Пусть отрезки АС и ВМ пересекаются в точке О, тогда АО=СО, ВО=ВМ

треугольники АOM и COB равны за двумя сторонами и углом между ними

(АО=СО, ВО=ВМ по условию, угол АОМ=угол ВОС как вертикальные),

из равенства трегольников имеем АМ=ВС

аналогично получаем, что АВ=СМ

Треугольники АВС и СМА равны за тремя сторонами

(АМ=ВС, АВ=СМ по доказанному, АС=СА)

Доказано.

Решение на рисунке. Очень хорошая задача. Побольше бы таких, а то тут все больше - "найти синус по катету и гипотенузе :)))", я такие и не читаю.

ответ получается очень простой, и довольно странный - я пытаюсь представить себе, что будет, если точка D находится очень далеко от А (при фиксированном АВ, конечно). И не могу :(((

Суть решения такова. 

Для начала считаем основания a и b заданными.

1. Находится связь между прощадью трапеции Sabcd и прощадью треугольника CMD, равной S. Тут можно сделать очень глупую ошибку. Точка М не лежит на диаметре окружности, перпендикулярном основаниям. Поэтому всё, что у нас есть - подобие треугольников МВС и МАD. Ясно, что их стороны пропорциональны основаниям.

Площадь трапеции равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними. Проще всего это увидеть, если построить треугольник BDE, как показано на чертеже. DE II AC. Площадь BDE равна площади трапеции (у них общая высота и одинаковые средние линии), а стороны у него - диагонали трапеции. Пользуясь этим, получаем

S = Sabcd *a*b/(a + b)^2;

2. Выражаем площадь трапеции через периметр и радиус вписанной окружности. При этом помним, что суммы противоположных сторон трапеции равны. Получаем

Sabcd = (a + b)*r;

3. Последнее необходимое соотношение получаем из треугольника АВК, где ВК II CD; При этом ВК = a + b - 2*r; АВ = 2*r; AK = a - b; 

Из теоремы Пифагора для этого треугольника получаем

r = a*b/(a + b);

Собирая всё это, получаем 

S = r^2;

Я пытался найти чисто геометрическое обоснование этому ответу, но не нашел.

4х+7х=22, 11х=22, х=2, теперь 4*2=8 см и 7*2=14 см 

ответ: 8см и 14 см

V=S основания  (а*b)* высоту (c)=3*4*6=72 кв.см