Боковое ребро правильной треугольной пирамиды sabc равно 5, а длина стороны основания равна 6. найдите косинус угла а между прямыми см и ав, где точка м- середина ребра sb. в ответ запишите : корень из 97 соsа.

В основании правильной 4-уг. пирамиды лежит квадрат, так как боковое ребро образует угол в 45 градусов, то мы получаем равнобедренный прямоугольный треугольник, в котором высота и 1/2 диагонали квадрата катеты, а боковое ребро -гипотенуза , по теореме пифагора находим катеты (а), они у нас равны между собой и равны а^2+а^2=4^2     2а^2=16    а^=8 а=2V2см  - это мы нашли высоту 

площадь боковой поверхности пирамиды равна 4  площадям боковых граней, сторона квадрата (b в квадрате), лежащего в основании  равна 2а в квадрате (по теореме пифагора) b^2=2а^2=2*(2V2)^2     b=4см  найдем апофему (с) с^2=4^2-(b/2)^2=16-4=12  с=V12  c=2V3 cм

S=4*(1/2)*b*c=2*4*2V3=16V3 кв.см

S=Lh, где L-длина окружности основания  h-высота цилиндра

т.к. h=L   S=L*L (L )

L=2пR=пD D-диаметр

L=п*1=п

S=L*L=п*п=3,14*3,14=9,86 кв.м  ( хотя наверное лучше оставить п в квадрате, так вроде точнее) п-это пи

S=0,5*AB*BC*sinB, где АВ=ВС - боковые стороны, которые примем за х, а угол В равен 30 градусов, значит синус его равен 0,5. Тогда 150=0,5*(x^2)*0,5=0,25*(x^2), откуда боковая сторона х=10 корней из 6

 Дан прямоугольный параллелепипед, в основании которого - квадрат. Нужно найти расстояние от бокового ребра до диагонали параллелепипеда, которая по отношению к боковому ребру - скрещивающаяся. 

Определение:

Расстояние между скрещивающимися прямыми – это расстояние от некоторой точки одной из скрещивающихся прямых до плоскости, проходящей через другую прямую параллельно первой прямой. 

 Иначе - это длина общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, т.е. отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из этих прямых.

Проведем плоскость  (диагональное сечение) через диагональ параллелепипеда.  Она будет параллельна его боковому ребру. т.к. содержит перпендикуляр ОО1, соединяющий центры оснований и параллельный АА1. 

Опустим из  точки А ребра АА1 перпендикуляр АО на плоскость ВВ1D1D. 

АО=А2О2

АО- половина диагонали основания ( квадрата) и является искомым расстоянием между ребром АА1 и диагональю В1Д.

Диагональ квадрата со стороной а равна а√2 (по т.Пифагора или d=a:sin45º)

АО=0,5а√2

Можно с тем же результатом найти расстояние от точки А, являющейся проекцией ребра АА1  на перпендикулярную ей плоскость  АВСD, до проекции диагонали В1D   на ту же самую плоскость, т.е. найти длину того же отрезка АО. 

R=a/√3

a=R*√3 =2√3*√3=6

p=3a

p=3*6=18 

сначала найдём сторону равностороннего треугольника ,

а=P/3=3,6

AC=(11,6-3,6)/2=8/2=4

Основание треугольника сечения - это диагональ d квадрата основания.

Она равна 18√2 см. Высота пирамиды делит её пополам.

Поэтому d/2 = 9√2 см.

Находим длины боковых рёбер L:

2L² = d².Отсюда L = √(d²/2) =d/√2 = 18√2/√2 = 18 см.

Находим высоту Н пирамиды:

Н = √(L² - (d/2)²) = √(18² - (9√2)²) = √(324 - 162) = √162 = 9√2 см.

(это можно было найти и короче: ведь сечение - равнобедренный прямоугольный треугольник и его высота равна половине гипотенузы).

Получаем ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*18*18*9√2 = 972√2  ≈ 1374,62 см³.

по теореме Пифагора диагональ прямоугольника равна

d=корень(12^5+5^2)=13 см

радиус окружности равен r=d/2=13/2=7.5 см

длина окружности равна l=2*pi*r

l=2*pi*7.5=13 pi см(или 13*3.14=40,82 см)

на рисунке точка О соединяет точку М(ОМ - перпендикуляр, опущенный на треугольник), соединим точку М с серединами сторон треугольника, эти отрезки будут равны по 5 см. по условию, соединим точку О(центр окружности) с серединами сторон треугольника, катет полученного треугольника (являющийся радиусом) равен корню из (  (Р - 10)(Р - 10)(Р - 12)   )      /   р, где Р - полупериметр треугольника, получается корень из 9 ,это равно 3,следовательно радиус - катет прямоугольного треугольника равен 3. Дальше по теореме Пифагора находим другой катет.  МО = корень из   ( 25 - 9)  = 4. Следовательно расстояние от точки м до плоскости равно 4 см. Площадь круга  = пи * радиус в квадрате отсюда S = 16 * 3.14 = 18.84 = 19см^2.

ответ: 4 см, 19 см^2.